这个"连续性"的证明过程比较严谨，如下所述（你可以先准备好一张纸、一支笔，然后用笔在纸上将该证明过程写出来，这样就一目了然了，呵呵：)
【问题】如何“证明连续型随机变量的分布函数F(x)”是”连续函数”？
【证明过程】首先对于随机变量X的分布函数F(x),其形式为∫f(t)dt, 积分符号"∫"上限为x，下限为－∞，根据其形式，可判定此函数为“第一类反常积分”函数（即“无穷区间上的反常积分”函数）。因此根据“第一类反常积分”函数的定义，该函数可改写为F(x)=lim ∫f(t)dt，其中"lim"下面为“p->-∞”，积分符号"∫"的上限仍为x，下限为p。
根据分布函数F(x)的定义，设x1与x2为任意实数，可得：F(x2)-F(x1)=lim ∫f(t)dt
- lim ∫f(t)dt，其中两个"lim"下面均为“p->-∞”，第一个积分符号"∫"的上限为x2，下限为p，第二个积分符号"∫"的上限为x1，下限为p；继续化简，F(x2)-F(x1)=lim ∫f(t)dt
+ lim ∫f(t)dt，其中两个"lim"下面均为“p->-∞”，第一个积分符号"∫"的上限为x2，下限为p，第二个积分符号"∫"的上限为p，下限为x1；根据定积分的性质3（对区间的可加性），原式可化简为：F(x2)-F(x1)=lim ∫f(t)dt
，其中"lim"下面为“p->-∞”，而积分符号"∫"的上限为x2,下限为x1，可知上下限此时与变量p无关，因此可进一步将原式化简(即将"lim"去掉)，F(x2)-F(x1)= ∫f(t)dt，其中积分符号"∫"的上限为x2,下限为x1。
再进一步证明分布函数F(x)是“连续函数”，根据“函数连续性”的定义，可令x2=x1+△x，则当△x->0时，可得lim [F(x2)-F(x1)] (注意：其中"lim"下面为“△x->0”，后续表达式同此)
= lim [F(x1+△x)-F(x1)] =
lim [∫f(t)dt] (其中积分符号"∫"的上限为x1+△x,下限为x1) 。
又根据随机变量X的分布函数F(x)定义的条件：函数f(t)(或称“函数f(x)”)为“非负可积函数”，可由可积函数（类）的性质"可积的必要条件"(若函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，则函数f(x)在[a,b]上有界),可知函数f(t)在闭区间[x1，x1+△x]上有界，因此可得0≤f(t)≤M，其中“M”为一常数。
再由定积分的性质8，可得，若f(x)在[x1，x1+△x]上可积，0≤f(t)≤M，t∈[x1,x1+△x]，M为常数，则有：0·[(x1+△x)-x1]≤ ∫f(t)dt ≤ M·[(x1+△x)-x1] (其中第二个表达式中积分符号"∫"的上限为x1+△x,下限为x1)；此不等式可进一步化简为：0·△x ≤ ∫f(t)dt ≤ M·△x (其中第二个表达式中积分符号"∫"的上限仍为x1+△x,下限仍为x1)；然后对该不等式的三个表达式同时应用"lim △x->0"，即可由"函数极限存在的准则"定理1.1，即“夹逼定理"，解得lim ∫f(t)dt ＝0，其中"lim"下面为“△x->0”。
即解得 lim [F(x1+△x)-F(x1)] ＝ lim [∫f(t)dt] ＝0，其中"lim"下面为“△x->0”，积分符号"∫"的上限为x1+△x,下限为x1。由"函数连续性"的"△x －△y" 定义（即lim △y =0, 其中"lim"下面为“△x->0”)，以及x1取值的任意性，可知分布函数F(x)是连续函数。
证毕。
注意：因为在网页上不好撰写数学符号，所以以上证明过程可在纸上写出来，这样可以一目了然。此证明过程比较完整，无删节，且每一步都标明了使用的性质或定理，供你参考。
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