∫dx/x^2√(x^2+1)

Question

如题所述

Answer 1

解：令x=tant，则x^2+1=(tant)^2+1=(sect)^2。那么

∫dx/x^2√(x^2+1)

=∫1/((tant)^2*sect)dtant

=∫(sect)^2/((tant)^2*sect)dt

=∫sect/(tant)^2dt

=∫cost/(sint)^2dt

=∫1/(sint)^2dsint

=-1/sint+C

又tant=x，则sint=x/√(x^2+1)

因此∫dx/x^2√(x^2+1)

==-1/sint+C=-√(x^2+1)/x+C

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

扩展资料

证明：如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

Answer 2

解：令x=tant，则x^2+1=(tant)^2+1=(sect)^2。那么

∫dx/x^2√(x^2+1)

=∫1/((tant)^2*sect)dtant

=∫(sect)^2/((tant)^2*sect)dt

=∫sect/(tant)^2dt

=∫cost/(sint)^2dt

=∫1/(sint)^2dsint

=-1/sint+C

又tant=x，则sint=x/√(x^2+1)

因此∫dx/x^2√(x^2+1)

==-1/sint+C=-√(x^2+1)/x+C

扩展资料：

1、三角函数关系公式

（1）倒数关系公式

sinx*cscx=1、    tanx*cotx=1、cosx*secx=1

（2）商数关系

tanx=sinx/cosx、cotx=cosx/sinx

（3）平方关系

(sinx)^2+(cosx)^2=1、1+(tanx)^2=(secx)^2、1+(cotx)^2=(cscx)^2

2、不定积分的求解方法

（1）换元积分法

例：∫sinxcosxdx=∫sinxdsinx=1/2sin²x+C

（2）积分公式法

例：∫e^xdx=e^x、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C

参考资料来源：百度百科-不定积分

参考资料来源：百度百科-三角函数公式

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Answer 3

解：令x=tant，则x^2+1=(tant)^2+1=(sect)^2。那么

∫dx/x^2√(x^2+1)

=∫1/((tant)^2*sect)dtant

=∫(sect)^2/((tant)^2*sect)dt

=∫sect/(tant)^2dt

=∫cost/(sint)^2dt

=∫1/(sint)^2dsint

=-1/sint+C

又tant=x，则sint=x/√(x^2+1)

因此∫dx/x^2√(x^2+1)

=-1/sint+C=-√(x^2+1)/x+C

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C 

= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C 

= - ln|secx - tanx| + C 

= ln|secx + tanx| + C

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Answer 4

令x=tanu，则dx=sec²udu，√(x^2+1)=secu
∫dx/x^2√(x^2+1)
=∫ sec²u/[(tan²u)secu] du
=∫ cosu/sin²u du
=∫ 1/sin²u d(sinu)
=-1/sinu+C
由tanu=x得：sinu=x/√(x²+1)
=-√(x²+1)/x+C本回答被提问者和网友采纳