微分方程中dx dy怎么可以乘除

Question

不妨说dy比dy=xy吧
为什么把dx可以乘过去再进行积分？
学过数学分析的人来讲讲这么做的合理性。
dy比dx是一个整体。即使有微分这个概念怎么就能保证可以把它拆开？还有。拆开以后不形式上想不定积分的被鸡表达式那样了。但是为什么就可以积分呢？不明白，不定积分和定积分的fxdx这个被积表达式不是只是一个形式上的东西吗？并不表示他们两个是相乘的啊？怎么证明？最好有证明！谢谢

Answer 1

（1）dx可以乘过去是因为微分的定义，以及微分的计算公式dy=f'(x)dx
（2）不定积分∫f(x)dx中的被积表达式f(x)dx，按其定义的确仅仅是形式的东西，但是由性质：
d[∫f(x)dx]=(∫f(x)dx)'dx=f(x)dx 发现，它恰好就是原函数的微分，所有可以看做微分。
（3）真正有问题的是定积分中的被积表达式，以下用∫(a,b)f(x)dx 表示从a到b对f(x)求定积分。
这里的f(x)dx真正是完全形式的了，与微分相去甚远，有很多书把定积分记作∫(a,b)f，根本就不写出积分变量来，因为由定积分的定义知，这个自变量是什么根本不重要，那么定积分该怎么计算呢？定积分中的换元积分法以及分部积分法又怎么来的呢？这个就是牛顿和莱布尼兹的贡献！！！
解决问题的关键：变上限积分 ∫(a,x)f(t)dt 这个东西按定义是个定积分，但是当x变动的时候，它是个函数，而最最重要的是它的微分 d[∫(a,x)f(t)dt]=f(x)dx, 由此我们又一次看到定积分的被积表达式部分与微分联系了起来，这个结论是微积分部分最重要的一个结论，它的一个直接的结果就是牛顿-莱布尼兹公式 。
也许有同学会拘泥于 f(t)dt 与 f(x)dx中积分变量的差别，其实要注意到，由定积分的定义，积分变量用什么表示都是没有关系的， ∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f(y)dy=∫(a,b)f(t)dt=...
变上限积分 ∫(a,x)f(t)dt 有些书上就写成了 ∫(a,x)f(x)dx，但是这个导致很多学生不理解，所以把积分变量改成了跟积分的变上限x不同的东西。其实变上限积分，完全可以写成 ∫(a,x)f 的。 、
打字真累，不如直接讲课轻松。

Answer 2

dy/dx=f'(x)
dy=f'(x)dx

完全符合数学理论

Answer 3

初等的理解方式：dx、dy相当于差值△x、△y趋向于零，本身就是一种长度。可以除。
稍微精确点：dx、dy是微分。x、y首先是函数，d作用于一个函数，就是求它的全变差的极限。是无穷小量，只要除出来有意义，当然可以除。
比较高等的理解：dx、dy是一种测度，他们之间有转换关系。

因为y=y(x)是x的函数，长度dy就是dx的y’倍。在x=0就是y‘(0)倍，在x=x0，就是y’(x0)倍。倍率是变化着的。虽然都是无穷小，但是他们之间存在这样的数量关系。
在导数定义中，是比值，有意义；在积分定义中，是局部的小长度，加起来也有意义。
但dx独立存在时，就只能看作全变差的极限，就是微分；本身是无穷小，你硬要独立地看，就是0。但它包含“阶”和比率的信息（无穷小也有大小之分嘛，就是阶和比例关系），只用结合导数或者积分，才能有数值上非0的意义。对于具体运算没有具体价值，但对理论价值比较大。

积分可以这么理解，积分号就是表示求和，被积函数就是在某一点附近长度的权重（高度），dx就是分割单位长度。f(x)dx可以看作很小的一个长方形面积。套用积分表示“函数下方面积”的几何意义，相信不难理解。
dy/dx合起来既是导数，也可以看做分割单位的比值。我们以自变量x的分割作为参考系，y是关于x的函数y(x)，那么y的分割依赖于x。从比例上看，dy就是dx的y‘倍长度。
求积分时候更多是用dx作为分割长度的。