一道高中力学物理题

Question

两个小球分别用一根轻细线和轻弹簧的一端连接，轻绳和轻弹簧的另一端被系于同一高度，现将两个小球都拉至相同的高度，此时弹簧长度与原长相等。静止释放两小球后，则如何比较两小球在最低点是速度大小？

Answer 1

这是一道机械能守恒的典型问题。用轻绳和轻弹簧将两个小球都拉至相同的高度，设这个高度为零势能面，此时两个小球的机械能为零。摆到最低点后，则有1.轻绳端的小球有0=-mgL+mv^2/2
，球下落过程减少的重力势能转化为球的动能。2.轻弹簧一端的小球有0=-mgL+mv'^2/2+E弹。球下落过程减少的重力势能一部分转化为球的动能，另一部分由于弹簧伸长了而转化为弹簧的弹性势能。比较可知v'< V。
轻绳端的小球在最低点的速度大

Answer 2

轻绳：
0 = -mg L +m v1 ^2 /2 ————————————（1）
弹簧：
0 = -mg (L+x) + m v2 ^2 / 2 + 1/2 k x^2 (x为弹簧伸长量) ——————————（2）
m v2 ^2 / (L+x)= kx - mg ————————（3）
由（1）,（2）可知
只需比较 1/2 k x^2 - mgx (=0.5x(kx-2mg)记为 *式 )的正负性即可知 v1，v2大小
由（2）,（3）式 可解得2kx^2+(kl-3mg)x-3mgl=0————————（4）
令 f(x) =2kx^2+(kl-3mg)x-3mgl
当x=2mg/k时
f(x)=2m^2g^2/k - mgl
若f(x)>0 即k<2mg/l
则可知（4）式之解 x < 2mg/k
则 *式 <0 即v2>v1;
若k=2mg/l,则v2=v1;
若k>2mg/l,则v2<v1;
(写的有点烦 不懂可以再问。)追问

1、这不是匀速圆周运动，为什么（3）式成立？
2、最后几步有点没看懂，等号的那个怎么得出懂了，但怎么顺推出的麻烦讲详细些。
非常感谢您的详细解答，并对我这么晚才回复深感抱歉

追答

1. F法向=mv^2/r 的公式适用于任何曲线运动 r可视作曲率半径
（http://baike.baidu.com/view/750212.htm上面有）

这个公式你自己也可以推导出来的，你可以看一下http://baike.baidu.com/view/84849.htm?wtp=tt#6里面的匀速圆周运动向心力公式的推导

（其中“说明：由于质点做匀速圆周运动，所以Va=Vb=v，s表示弧长，r表示半径”可以忽略一下，因为只要它的切向加速度不是无穷大，切向上速度的数量变化Δv=a切*Δt趋向于0，是可以忽略的。va约等于vb。）

2.后面的式子
（要注意的是令 f(x) =2kx^2+(kl-3mg)x-3mgl 中x是我设的变量 已经不是之前的方程的解。）

当x=2mg/k时，f(x)=2m^2g^2/k - mgl （值记为C）
然后你可以在纸上画一个二次函数的图
（开口向上，Y轴上的点为负值，图像和X轴的交点（正的那个）为弹簧伸长量X的值）

如果C>0，根据图像可知，此时的2mg/k是在图像和X轴的交点的右边的，也就是实际的弹簧伸长量X是小于2mg/k的。
从而得出1/2 k x^2 - mgx 是小于0的。
也就是v2>v1。
其他情况你可以自己讨论一下。都差不多。画图就行了。

注：从设函数那边开始是我的思考过程，是为了解释题目写的，考试的时候这段可以忽略，直接列方程，得出结论就行了。

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Answer 3

这题目用机械能守恒或动能定理解最简单，，
说简单点吧，用绳连接的球在下落过程中重力势能全部转化为动能E，
而用弹簧连接的球在下落过程中，重力势能转化为弹性势能Ek和动能Ep，又因为重力势能相等，所以用绳连接的球速度更大些