log函数求导

Question

如题所述

Answer 1

log函数求导如下：

对数函数是数学中的一种基础函数，其在自然科学和工程领域中有广泛的应用。其中最常见的对数函数是以e为底的自然对数函数ln(x)，和以10为底的常用对数函数log(x)。这里我们讨论的是常用对数函数。

常用对数函数log(x)的定义如下：

log10(x) = y <==> 10^y = x

其中x是函数的自变量，y是函数的因变量。该函数表示以10为底的指数函数中，指数为y时得到的值是x。

接下来，我们来求对数函数log(x)的导数。

根据定义，我们有：

log10(x) = y <==> 10^y = x

对该式两边同时求导数，得到：

d/dx(log10(x)) = d/dx(y) <==> d/dx(10^y) = d/dx(x)

因为y是x的函数，所以需要使用链式法则：

d/dx(10^y) = d/dy(10^y) * d/dx(y) = ln(10) * 10^y * d/dx(log10(x))

因为d/dx(x) = 1，所以上述式子变为：

ln(10) * 10^y * d/dx(log10(x)) = 1

移项得：

d/dx(log10(x)) = 1 / (ln(10) * 10^y)

由于y = log10(x)，因此我们可以将y带入得到：

d/dx(log10(x)) = 1 / (ln(10) * x)

所以常用对数函数log(x)的导数为：

d/dx(log(x)) = 1 / (ln(10) * x)

需要注意的是，对于函数log(x)，只有在x>0的情况下才有定义。对于x<=0的情况，其导数不存在。

因此，当我们需要对常用对数函数log(x)进行求导时，需要特别注意以上限制条件。