线性代数

Question

设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m*n矩阵,则下列命题中正确的是(不定项选择)
1.若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩r(A)>=r(B)
2.若秩r(A)>=r(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解
3.若Ax=0与Bx=0同解,则秩r(A)=r(B)
4.若秩r(A)=r(B),则Ax=0与Bx=0的同解

Answer 1

知识点: 齐次线性方程组AX=0的基础解系含 n-R(A) 个解向量

1. 由已知, AX=0 的基础解系 可由BX=0 的基础解系线性表示
所以 n-R(A) <= n-R(B)
所以 R(A)>=R(B)
正确.

2. 显然错误: 秩的大小不能决定解, 只能决定线性无关解的个数

3. 由1知有 R(A)=R(B).
正确.

4. 错误.

Answer 2

设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m*n矩阵,则下列命题中正确的是(不定项选择)
1.若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩r(A)>=r(B)
2.若秩r(A)>=r(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解
3.若Ax=0与Bx=0同解,则秩r(A)=r(B)
4.若秩r(A)=r(B),则Ax=0与Bx=0的同解

Answer 3

1，3；
注意分析线性方程组解与秩的关系