实际问题与一元二次方程：销售定价问题

Question

将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个。已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价定为多少？这时应进货多少个？
要解题步骤，并说明理由，要讲解

Answer 1

解：设价格增量为x，销售量与价格的关系为-10x
利润R=销售额×（销售价-进货价）=（500-10x)（50-40+x）=(500-10x)(10+x)
=5000+400x-10x²
(1)求最大利润：对R求导，R'=400-20x
令R'=0，则x=20，销售量为300，最大利润Rmax=9000元
（2）只考了赚8000元，则：5000+400x-10x²=8000,
解一元二次方程，取有效值x=10，销售量=400
即：要取得利润为8000元，价格定在60元，进货400个就可以了。

Answer 2

售价定为x,这时应进货y个:(x-40)*y=8000,又因为按50元卖利润为500*（50-40）=5000，5000〈8000，可见要想赚得8000元的利润非得提高价格，所进货量得少于500个，y=500-(x-50)*10 y=1000-10x .将后面式子代入第一个式子可得：(x-40)*(1000-10x)=8000 (x-40)*(100-x)=800 140x-4000-x*x=800 x*x-140x+4800=0
得x=60或80 当x=60时，y=400 当x=80时，y=200

Answer 3

假设需求函数是：p=aq+b
50=500a+b
51=490a+b （涨价1元，销量减少10）
a=-0.1 b=100 ，得到 p=-0.1q+100

利润=销售收入-进货成本
8000=pq-40q=-0.1q^2+60q
-0.1q^2+60q-8000=0
q1=200, 此时p1=80
q2=400, 此时P2=60