一道数学证明，证明 1/n， n=1, 2, 3, 4, ... 都是此数列的聚点

Question

这个数列 是{s(n)/n}
s(n)的定义是 n的质数因子的和， 比如8 = 2*2*2， s(8)=6 . 12=2*3*4 s(12)=9
聚点的定义是:
K is a cluster point of the sequence {an} if

given e > 0, |an-K|<e for infinitely many n.

证明 1/n， n=1, 2, 3, 4, ... 都是{s(n)/n}的聚点

Answer 1

即对于任意的n,
我们需要构造一个子列{nk}使得S(nk)/nk->1/n即可
令此子列为
nk=n*pk, k=1,2,3,...
{pk}表示第k个质数
所以根据定义
S(nk)=S(n*pk)
因为pk是质数，所以是nk的一个质因子
所以S(n*pk)=S(n)+pk
所以S(nk)/nk
=(S(n)+pk)/nk
=S(n)/(n*pk)+1/n
因为n现在固定
所以S(n)/n是定值
pk显然随着k增大而趋于无穷
用极限语言
对于任意的e>0和自然数n>0
只要选择k>K0,
使得第K0个质数pK0>[S(n)/n]/e
则|S(nk)/nk-1/n|
=|S(n)/(n*pk)|
=[S(n)/n]/pk<[S(n)/n]/([S(n)/n]/e)=e
所以1/n是子列S(nk)/nk的极限点
即为1个聚点
而n是任意的自然数
所以对于任意自然数n
1/n都是数列{s(n)/n}的一个聚点

Answer 2

对于素数p,有
s(np)=s(n)+p
a(np)=s(np)/np=(s(n)+p)/(np)=s(n)/(np)+1/n
p->无穷时
a(np)->1/n
所以1/n是数列a(n)的聚点。

Answer 3

为什么12=2*3*4，s(12)=9啊~~求解释