求讲解：关于二重积分求面积的问题，如图红线处，可否把这个式子和求解过程给讲一下？

Question

问题：1、对y的被积函数是1？
2、运算顺序？

谢谢～

Answer 1

是的，先求出里面的积分，被积函数为1，所以 ，求出来为x²-0=x²，再求0到1的积分，被积函数为x²，所以结果为1/3 ,
至于运算顺序，肯定先从里面的积分开始罗，因为里面是一个变上限的积分，外面是一个固定的定积分，只有先计算出变上限的积分，求出来是一个函数式，再结合外面的固定积分才能求出结果来。
还比如前面是一个固定的定积分，后面是一个变上限的积分，也是先从变上限的积分入手，还要注意的是，积分变量要和里面的被积函数的变量一致，比如2x²dx ，3ydy追问

解释的非常清楚，我明白这个运算顺序了，感谢！！

对于被积函数是1这个还不是很明白，是因为对面积积分的被积函数都是1吗？这个1是怎么出来的？

追答

用二重积分计算平面区域的面积的时候，被积函数为1。
解释一下，因为二重积分的几何意义就是：假设底面面积为D（就是S=积分区域的面积），顶面为z=f(x，y)的曲顶柱体的体积。因为微积分中有一个思想，就是以特殊的几何体来替换一般的几何体（以平面代曲面，以直线代曲线，舍去高阶无穷小，由近似到精确）那么这个曲顶柱体的体积就可以用圆柱体的体积表达了。
V=∫∫f(x,y) dxdy ≈底面积×高=D×f(x，y) ，也就是V=D×f(x，y) ，到这里，你自己想想，当被积函数z=f(x,y)=1的时候，那么这个体积V=D×1=D ，，，，，看懂了吗？也就是说当被积函数为1的时候，那么这个二重积分表示的面积就是 V=∫∫1 dxdy ≈D×1=D=S ，其中有一个“约等号”,看懂了吗？我写得很清楚了，用你的文字理解力和一点数学基础很容易看明白的。