请问这道题怎么解

Question

如题所述

Answer 1

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c（a，b，c∈R）为偶函数，且图像与坐标轴交与（-根号2，0）和（0，-2）点
1 求f（x）解析式
2 已知g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间（0，1）上为单调增函数，求实数a的取值范围
3 讨论函数h(x)=ln(1+x²)-(1/2)f（x）-k的零点个数
(1)解析：∵二次函数f(x)=ax²+bx+c（a，b，c∈R）为偶函数
∴b=0
又∵图像与坐标轴交与（-根号2，0）和（0，-2）点
∴c=-2,2a-2=0==>a=1
∴f(x)=x^2-2
(2)解析：∵g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间（0，1）上为单调增函数
g(x)=x^2+2x+alnx==>g’(x)=2x+2+a/x=(2x^2+2x+a)/x (x>0)
∵2x^2+2x+a的对称轴为x=-1/2<0
∴区间（0，1）在其抛物线右支上
∴a>=0
(3)解析：∵函数h(x)=ln(1+x^2)-(1/2)f（x）-k
函数h(x)=ln(1+x^2)-(1/2)(x^2-2)-k
令h’(x)=2x/(1+x^2)-x=0
X1=-1,x2=0,x3=1
h”(x)=(2-2x^2)/(1+x^2)^2-1, h”(x1)= h”(x3)=-1<0, h”(0)=1>0
∴h(x)在x1,x3处取极大值h(-1)=h(1)=ln2+1/2-k；在x2处取极小值h(0)=1-k
∴当k= ln2+1/2时，函数h(x)零点个数为2；
当k>ln2+1/2时，函数h(x)零点个数为0；
当1<k<ln2+1/2时，函数h(x)零点个数为4；
当k=1时，函数h(x)零点个数为3
当k<1时，函数h(x)零点个数为2；