计算三重积分∫∫∫zdv,其中Ω是有曲面积分z=√(2-x^2-y^2)和z=x^2+y^2.讨论

Question

http://zhidao.baidu.com/question/348741227.html
上面链接是别人回答的。

曲面z=√(2-x^2-y^2)是球面 x^2+y^2+z^2=2的上半部（z>=0）
柱面z=x^2+y^2是圆柱体

但是这个题目应该按照2个曲面在OXY平面的投影大小来讨论做不同的计算
因为z=√(2-x^2-y^2)在OXY的平面投影x^2+y^2=2。（半径为√2）
所以z=x^2+y^2在oxy的平面投影，也就是该柱面的半径与√2的大小来区别
0<=z<=√2 和z>=√2来
当0<=z<=√2 时,是曲面z=√(2-x^2-y^2)“包含”z=x^2+y^2,此时积分区域是个曲面,积分区域比较复杂
当z>=√2时，是柱面z=x^2+y^2“包含”z=√(2-x^2-y^2)“,此时积分区域就是曲面z=√(2-x^2-y^2)

我的理解对吗？
请数学达人给出合理的解释,并附上解题步骤。谢谢。不要复制别人的答案哦

Answer 1

题目:计算三重积分∫∫∫zdv,其中Ω是由曲面z=√(2-x^2-y^2)和z=x^2+y^2.所围成.
首先,z=x^2+y^2是旋转抛物面,而不是圆柱面.
可求得:z=x^2+y^2与球面的交线到XOY面的投影柱面为:x^2+y^2 =1.
故三重积分的积分域可表达为: x^2+y^2<=1, x^2+y^2 <= z <=√(2-x^2-y^2).
按此计算三重积分,宜用如下积分顺序:( 可避免分割区域)
∫∫∫zdv= 在 x^2+y^2 <= 1 上,计算二重积分{ ∫∫ [ 从x^2+y^2 到 √(2-x^2-y^2).求 定积分 ∫z dz ] }dxdy
即先作一个定积分, 而后作一个二重积分.将定积分求出后,得:
∫∫∫zdv= 在 x^2+y^2 <= 1 上,计算二重积分{ ∫∫ (1/2)*[(2-x^2-y^2) -( x^2+y^2)^2 ]dxdy
用极坐标,计算二重积分:
∫∫∫zdv= 在 0<=r <= 1 , 0<= θ<= 2π 上,计算二重积分{ ∫∫ (1/2)*[(2-r^2) -(r^2)^2 ]rdrdθ
得:(对θ 积出)
∫∫∫zdv= 在 0<=r <= 1 上,计算 定积分{2π* ∫∫ (1/2)*[(2-r^2) -(r^2)^2 ]rdr
整理一下:
∫∫∫zdv= 在 0<=r <= 1 上,计算 定积分{π* ∫∫ [(2-r^2) - r^4 ]rdr
= 在 0<=r <= 1 上,计算 定积分{π* ∫∫ (2r-r^3 - r^5 )dr
=π*(1- 1/4 - 1/6) =7π/12.

Answer 2

z＝x^2+y^2不是圆柱体，而是旋转抛物面。是一个开口向上的抛物面，将xz平面的抛物线z＝x^2绕z轴旋转一周得到的就是旋转抛物面z＝x^2+y^2。
积分区域你画图就知道，是夹在上半球面z＝根号(2－x^2－y^2)和z＝x^2+y^2之间的部分，
两曲面的交线是x^2+y^2＝1，因此D＝{(x，y)：x^2+y^2<=1}，
对固定的某个(x，y)，z的范围是从x^2+y^2到根号(2－x^2－y^2)，因此积分值
＝二重积分_D dxdy *积分（从x^2+y^2到根号(2－x^2－y^2）zdz
剩下的你自己做吧，答案是7pi/12。

Answer 3

说清楚一点