两角和与差的正弦函数怎么推导出来的 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

Question

如题所述

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答：

两角和的正弦与余弦公式：
（1） sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；
（2） cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
教材的思路是在直角坐标系的单位圆中，
根据两点间的距离公式推导：
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
再用诱导公式证明： sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；
如图所示：∠AOD=α，∠BOD=-β，∠AOC=β，∠DOC=β+α。
则B（cosβ，-sinβ）；D（1，0）；A（cosα，sinα）；C[cos（α+β），sin（α+β）]。
∵ OA=OB=OC=OD=1
∴ CD=AB。
∵ CD2=[cos（α+β）-1] 2+[ sin（α+β）-0] 2；
=cos2（α+β）- 2cos（α+β）+1 + sin2（α+β）；
=2-2 cos（α+β）。
AB2=（cosα-cosβ）2+ （sinα+sinβ）2；
=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+ sin2β；
=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。
∴ 2-2 cos（α+β）=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。
∴ cos（α+β）=cosαcosβ- sinαsinβ
∴ sin（α+β）= cos（90°-α-β）
=cos[（90°-α）+（-β）]
=cos（90°-α）cos（-β）- sin（90°-α）sin（-β）
=sinαcosβ+cosαsinβ追问

非常感谢 还有半角函数是怎么推导出来的呢

追答

基本公式只有一个其它都是它的变形：
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
令α=β，cos2α=(cosα)^2-(sinα)^2=1-2(sinα)^2=2(cosα)^2-1，
∴sinα=√［(1-cos2α)/2］
再用α/2代替α得：sin(α/2)=√[(1-cosα)/2]
同理：cos(α/2)=√[(1+cosα)/2]

Answer 2

画个图四分之一圆，角度表示有a;b;a+b，然后就用三角形来推导
这个推导只有自己画图才能比较好的理解，在这里不好描述的