高一数学 函数奇偶性，求详解

Question

如题所述

Answer 1

此函数为分段函数，欲证此函数为奇函数则要分别证明x>0和x<0时有f(-x)=-f(x),加上原点也满足奇函数定义即可。
1、当x>0, -x<0 则代入-x²-2x-3 中。有
f(-x)=-(-x)²-2(-x)-3=-x²+2x-3= -（x²-2x+3)=-f(x) ∴ f(-x)=-f(x)；
2、当 x<0, -x >0 则 代入x²-2x+3中有
f(-x)=(-x)²-2（-x)+3=x²+2x+3= -( -x²-2x-3)=-f(x) ∴ f(-x)=-f(x)
3、又 f(0)=0
∴在f(x)的定义域上均有f(-x)=-f(x)，根据奇函数的定义，得知f(x)为奇函数。 证毕。

Answer 2

证明：有题可知f(x)的定义域关于原点对称
当x＞0时，f(x)=x²-2x+3，f(-x)=-(-x)²-2(-x)-3=-x²+2x-3=-(x²-2x+3)=-f(x)
当x＜0时，f(x)=-x²-2x-3，f(-x)=(-x)²-2(-x)+3=x²+2x+3=-(-x²-2x-3)=-f(x)
综上可知，f(x)是定义在R上的奇函数

Answer 3

Answer 4

x>0时（即-x<0) f(-x)=-x^2+2x-3=-(x^2-2x+3)=-f(x)故此时为奇函数
x<0时 (即-x>0) f(-x)=x^2+2x+3=-(-x^2-2x-3)=-f(x)故此时为奇函数
x=0时 显然f(-x)=-f(x)=0
综上 该函数是奇函数

Answer 5

欲证此函数为奇函数

因为 分段函数，
原点满足奇函数定义即可

要分别证明x>0和x<0时有f(-x)=-f(x)
1、 f(0)=0

2、当x>0, -x<0 则代入-x²-2x-3 中。有

f(-x)=-(-x)²-2(-x)-3=-x²+2x-3= -（x²-2x+3)=-f(x)
∴ f(-x)=-f(x)；

3、当 x<0, -x >0 则 代入x²-2x+3中有

f(-x)=(-x)²-2（-x)+3=x²+2x+3= -( -x²-2x-3)=-f(x)
∴ f(-x)=-f(x)

∴在f(x)的定义域上均有f(-x)=-f(x)，根据奇函数的定义，得知f(x)为奇函数。

Answer 6

f(-x)=f(x)为偶。f(-x）=-f(x)为奇