设集合A是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A使得0＜|x-x0|＜a，则称x0为集合A的聚

Question

设集合A是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A使得0＜|x-x0|＜a，则称x0为集合A的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中，（1）{x|x＝nn+1，n∈Z，n≥0}（2）不含0的实数集R（3）{x|x＝1n，n∈Z，n≠0}（4）整数集Z以0为聚点的集合有（　　）A．（1）（3）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（1）（2）（4）

Answer 1

（1）{x|x＝

n

n+1

，n∈Z，n≥0}的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大

1

2

，
∴在a＜

1

2

的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合的聚点
（2）集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=

a

2

，使得0＜|x|=＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点．
（3）集合中的元素是极限为0的数列，
对于任意的a＞0，存在n＞

1

a

，使0＜|x|=

1

n

＜a
∴0是集合的聚点
（4）对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是说不可能0＜|x-0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点
故选C．