求函数y=sinx乘cosx+sinx+cosx的最大值，x∈[0,π/2] 用均值不等式如何解？

Question

如题所述

Answer 1

y=sinx乘cosx+sinx+cosx的最大值，x∈[0,π/2]
y=sinx*cosx+sinx+cosx+1-1=sinx(cosx+1)+(cosx+1)-1=(sinx+1)(cosx+1)-1
看到两整式相乘的形式求最值，想到
用均值定理：一正（定义域决定了），二定，三相等
即y≤((sinx+1)^2+(cosx+1)^2)/2-1
≤sinx+cosx+1/2
所以...当且仅当sinx+1=cosx+1，即sinx=cosx=根2/2时，y的最大值为(根2+1/2)追问

这个我在网上有搜到过、可以跟我讲一下(sinx+1)(cosx+1)-1怎么变成y≤((sinx+1)^2+(cosx+1)^2)/2-1
用哪个公式转换的..

追答

用的公式ab<=(a^2+b^2)/2

追问

还有一题x^2乘（3-2分之x^2）..谢啦~~

Answer 2

解
函数y=sinxcosx+sinx+cosx. x∈[0, π/2]
换元，可设k=sinx+cosx.
【1】
k=sinx+cosx=(√2)sin[x+(π/4)]
0≤x≤π/2.===>π/4≤x+(π/4)≤3π/4.===>(√2)/2≤sin[x+(π/4)]≤1
===>1≤(√2)sin[x+(π/4)]≤√2.===>1≤k≤√2
∴k∈[1, √2]
【2】
k=sinx+cosx.
k²=sin²x+2sinxcosx+cos²x=1+2sinxcosx
∴sinxcosx=(k²-1)/2
∴y=k+[(k²-1)/2].
∴2y=2k+k²-1
2y+2=(k+1)².
∵1≤k≤√2
∴2≤k+1≤1+√2
∴4≤(k+1)²≤3+2√2
即：4≤2y+2≤3+2√2
∴1≤y≤(1+2√2)/2
∴最大值=（1+2√2)/2本回答被网友采纳

Answer 3

只用均值不等式：sinx乘cosx<=【(sinx+cosx）/2】^2 ，做不出来答案的
还是要用到换元法，令 t=sinx+cosx =根号2 sin（x+π/4）∈【1，根号2】，
且 sinx乘cosx=（t^2-1）/2
y=sinx乘cosx+sinx+cosx =（t^2-1）/2 + t =【（t+1)^2-2】/2
当t=根号2时，y取最大值为根号2+1/2