函数y＝Asin(ωx+φ)，(A＞0， ω＞0， |φ|＜π2)的最小值是-2，在一个周期内图象最高点与最低点横坐标

Question

函数y＝Asin(ωx+φ)，(A＞0， ω＞0， |φ|＜π2)的最小值是-2，在一个周期内图象最高点与最低点横坐标差是3π，又：图象过点（0，1），求（1）函数解析式，并利用“五点法”画出函数的图象；（2）函数的最大值、以及达到最大值时x的集合；（3）该函数图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩得到？（4）当x∈(0，3π2)时，函数的值域．

Answer 1

解：（1）由于函数y＝Asin(ωx+φ)，(A＞0， ω＞0， |φ|＜

π

2

)的最小值是-2，
则A=2，
又由一个周期内图象最高点与最低点横坐标差是3π，
则

T

2

＝3π，∴T=6π，
即

2π

|ω|

＝6π（ω＞0）解得 ω＝

1

3

又图象过点（0，1），则令x=0  有2sinφ=1，
又由|φ|＜

π

2

，∴φ＝

π

6

，∴所求函数解析式为y＝2sin(

1

3

x+

π

6

)，
利用“五点法”画出函数的图象为：
（2）令

1

3

x+

π

6

=kπ+

π

2

，解得x=6kπ+π，k∈Z，
则当{x|x=6kπ+π，k∈Z}时，y＝2sin(

1

3

x+

π

6

)取最大值2；  
（3）由y=sinx（x∈R）的图象向左平移

π

6

个单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍，再将图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin(

1

3

x+

π

6

)的图象；  
（4）当x∈(0，

3π

2

)时，则

1

3

x+

π

6

∈(

π

6

，

2π

3

)
故sin（

1

3

x+

π

6

）∈（

1

2

，1]，即y＝2sin(

1

3

x+

π

6

)∈（1，2]，
故当x∈(0，

3π

2

)时，函数的值域为（1，2]．