不等式中的循环和

Question

其中的Σ(cyc)什么意思 具体举例说明 把这提给我讲一讲 （我初三）

Answer 1

clc的词根大概是cycle吧，就是循环和，有时后也会省略掉的。
这个记号最多见于三元不等式，更多元的也有，不过意义会有点模糊（下面会说明）
所谓循环和，就是将和号中的式子，按a->b->c->a的顺序替换，替换二次，一共得到三项，三项再求和。
比如a^2替换之后依次得到b^2,c^2，所以∑a^2 = a^2 + b^2 + c^2
而依据上面的规则，∑a^2 = ∑b^2 = ∑c^2
同理有∑ab = ∑bc = ∑ca = ab + bc + ca
注意∑1=3!
但是复杂点的话，比如∑a^2*b = a^2*b + b^2*c + c^2* a
∑ab^2 = ab^2 + bc^2 + ca^2
当然还有一种“对称和”的概念，类似于对称多项式和轮换多项式的区别，前者是指交换任意两个字母，值不变，而按照对称多项式的理解，似乎又应该有
∑a^2*b = ∑ab^2 = a^2*b + b^2*c + c^2* a + ab^2 + bc^2 + ca^2
其实三元的情况还好，如果四元的话，如果要表示
ab + ac + ad + bc + bd + cd的话，应该怎么写？
是∑ab?如果按照对称和，是对的，但是按照循环和，却是ab + bc + cd + da，也是很常见的。
又如∑ac写出来，究竟是ac + bd 还是2(ac+bd)?
总之，问题还是很多的。
对于和式，只有一个原则：和式只是一种简写，无论是看的人还是写的人，只有明白其中的含义，才不至于混淆