已知函数f（x）=x

Question

已知函数f（x）=x-alnx，g（x）=-1+a/x，a∈R，（1）若a=1，求函数f（x）极值（2）设函数h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的单调区间 （3）若在区间[1，e]（e=2.718...）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围 具体 O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

(1)f′（x）=(x-1)/x 当0<x<1时，f′（x）<0, f（x）为减函数；
当x≥1时，f′（x）>0, f（x）为递增函数，则当x=1时，函数极小值f(1)=1-0=1
(2)h(x)=f(x)-g(x)=x-alnx+(1+a)/x,则h′（x）=1-a/x-(1+a)/x^2=(x^2-ax-a-1)/x^2=(x+1)[(x-(1+a)]/x^2
①当1+a>0时，即a>-1时，在（0，1+a)上，h′（x）<0;在（1+a,)上h′（x）>0
所以h(x)在（0,1+a)上单调递减，在（1+a,+∞)单调递增
②当1+a≤0,即a≤-1时，在(0,+∞)上h′（x）>0,所以函数h(x)单调递增。
（3）在[1,e]上存在x0使得f(x)<g(x)成立，即h(x0)<0,即函数h(x)最小值小于0，
由（2）可知：
①当1+a>e,即a>e-1时，则h′（x）<0;函数h(x)在[1,e]上单调递减，
h(x)最小值为h(e)=e+(1+a)/e-a<0,得a>(e^2+1)/e-1
②当1+a≤1,即a≤0时，h′（x）>0,h(x)在[1,e]上单调递增，函数最小值h(1)=1+1+a<0
得a<-2;
③当1<1+a<e,即0<a<e-1时，最小值为h(1+a),因0<ln(1+e)<1,所以0<aln(1+a)<a,
则h(1+a)=2+a-aln(1+a)>2,而与h(1+a)<0矛盾，不成立
所以，只有①和②可满足题意