已知函数f(x)=2的x次方,且f(x)=g(x)+h(x)其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数

Question

已知函数f(x)=2的x次方,且f(x)=g(x)+h(x)其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，若不等式g(2x)-ah(x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,则实数a的取值范围是？

Answer 1

g(x)+h(x)=2^x，g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)=2^(-x)。
由以上两式解得：g(x)=[2^x-2^(-x)]/2、h(x)=[2^x+2^(-x)]/2。
g(2x)-ah(x)=[2^(2x)-2(-2x)]/2-a[2^x+2^(-x)]/2>=0。
即a[2^x+2^(-x)]<=[2^(2x)-2(-2x)]、a<=2^x-2^(-x)。
因为2^x-2^(-x)是增函数，所以2^x-2^(-x)在区间[1,2]上的最小值是2-2^(-1)=3/2。
不等式g(2x)-ah(x)>=0对任意x∈[1,2]恒成立等价于a<=3/2。
所以实数a的取值范围是(-无穷,3/2]。

Answer 2

g(x)+h(x)=2^x，g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)=2^(-x)。
由以上两式解得：g(x)=[2^x-2^(-x)]/2、h(x)=[2^x+2^(-x)]/2。
g(2x)-ah(x)=[2^(2x)-2(-2x)]/2-a[2^x+2^(-x)]/2>=0。
即a[2^x+2^(-x)]<=[2^(2x)-2(-2x)]、a<=2^x-2^(-x)。
因为2^x-2^(-x)是增函数，所以2^x-2^(-x)在区间[1,2]上的最小值是2-2^(-1)=3/2。
不等式g(2x)-ah(x)>=0对任意x∈[1,2]恒成立等价于a<=3/2。
所以实数a的取值范围是(-无穷,3/2]。

Answer 3

g(x)+h(x)=2^x，g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)=2^(-x)。
由以上两式解得：g(x)=[2^x-2^(-x)]/2、h(x)=[2^x+2^(-x)]/2。
g(2x)-ah(x)=[2^(2x)-2(-2x)]/2-a[2^x+2^(-x)]/2>=0。
即a[2^x+2^(-x)]<=[2^(2x)-2(-2x)]、a<=2^x-2^(-x)。
因为2^x-2^(-x)是增函数，所以2^x-2^(-x)在区间[1,2]上的最小值是2-2^(-1)=3/2。
不等式g(2x)-ah(x)>=0对任意x∈[1,2]恒成立等价于a<=3/2。
所以实数a的取值范围是(-无穷,3/2]。

Answer 4

a>=-17/12