f(x)=arctan2x, 求f(0)的2019阶导数

Question

f(x)=arctan2x, 求f(2019)(0)=_______.
答案是 -(2018!)2^2019, 但是为啥呢?

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

因为arctanx的导数为：1/(1+x^2)，所以arctanx的泰勒展开式为：x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+....(-1)^n/(2n-1)x^(2n-1)则：arctan(2x) = 2x - (8x^3)/3 + (32x^5)/5 - (128x^7)/7 +....+(-1)^(n-1）(2x)^(2n-1)/(2n-1)则其2019阶导数时，前面的n=1009项全部为0，n=1010项为：(-1)^(n-1)*(2n-1)!/（2n-1)*2^(2n-1)=(-1)^1009*(2019!)/2019*2^2019=-2018! *2^2019后面的项全部含有x,所以当x取0时，为0.所以其2019阶导数为-2018! *2^2019本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

这个应该是找规律的题目，先求一阶导数在0处的值，再求2阶导数在0处的值，就这样多求几次，一般不会超过5次，找规律就可以推出2019阶导数在0处的值了。

Answer 4

试试用数学归纳法，北理工的大学mooc课程讲微积分有课程里有求多阶导数的方法，你可以上mooc上看一下。追问

比如怎么归纳呢？你写一下步骤？

追答

具体公式推导mooc课程里面有，你自己去看一下即可，老师有讲
自己上百度搜索大学mooc课程，选择理工类的微积分课程，有一期里讲多重积分及导数的里面有涉及。