线性代数 正交矩阵 求正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵。

Question

如题所述

Answer 1

解题过程如下图：

扩展资料

定理：

1.方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；

2.方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；

3.A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；

4.A的列向量组也是正交单位向量组。

5.正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

Answer 2

解答如下图：

追答

抱歉！图中ε₂中的分母“5”忘开方了，应为“√5”，因此矩阵Q的第二列中的两个分母“5”都应改为“√5”！

追问

请问特征向量是如何求出的

你好，请问特征向量如何求出

为什么特征向量我算出来不一样

是不是特征向量可以有多个取值

追答

是的，特征向量不唯一，正交矩阵Q也不唯一；但若不考虑主对角元素的排列顺序，则对角化后的对角矩阵是唯一的；
在求特征向量亦即方程组的基础解系时，习惯上，当只有一个自由未知量时取其值为1并由此确定其它未知量的值，当只有两个自由未知量时取二者值为(1,0)和(0,1)两组，并由此确定其它未知量的两组值，从而得两个特征向量，三个自由未知量时则取(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)三组，以此类推；但有时也完全可以取其它值(但必须保证线性无关)以避免分数或减少负数，这机会导致所得特征向量不同，正交矩阵不同.

追问

感谢

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