什么叫上确界,下确界

Question

如题所述

Answer 1

上确界和下确界是实数集合中衡量极限概念的重要工具。当我们谈论一个有界实数集合X，比如X = {x}时，下确界(m)的定义是这样的：首先，集合中的每个元素x都满足x ≥ m的不等式。其次，对于任何给定的正数ε，总能找到一个集合中的元素x'，使得x'小于m与ε之和。简而言之，m是集合X中最小的上界，即使我们无限接近，也找不到一个数比它还小。因此，m被定义为集合X的下确界。

相反，上确界(M)的定义则是每个x满足x ≤ M，对于任何ε，存在x''大于M与ε的和。上确界是集合X的最大下界，即使我们试图增大，也总有元素比它更大。如果集合X在下方无界，即不存在最小的下界，我们约定inf{x} = -∞；而如果在上方无界，即没有最大的上界，我们默认sup{x} = +∞。

总结来说，上确界和下确界是分析集合中极限行为的数学概念，它们帮助我们量化和理解集合的边界和极限性质。