设f(x)∈C[0，1]，证明∫（π，0）xf(sinx)dx =π/2∫（π，0）f(sinx)dx

如题所述

推荐答案 2012-06-13

设x = π - y，dx = - dy
当x = 0，y = π
当x = π，y = 0
∫(0→π) xf(sinx) dx = - ∫(π→0) (π - y)f(sin(π - y)) dy
= π∫(0→π) f(siny) dy - ∫(0→π) yf(siny) dy
= π∫(0→π) f(sinx) dx - ∫(0→π) xf(sinx) dx，这里的y是假变量
2∫(0→π) xf(sinx) dx = π∫(0→π) f(sinx) dx，重复，移项
∴∫(0→π) xf(sinx) dx = (π/2)∫(0→π) f(sinx) dx

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第1个回答 2012-06-13

令x=π-t,代入得：
,∫（0,π）*x*f(sinx)dx =∫（π,0）*(π-t)f(sin(π-t)d(π-t)
=∫（0,π) πf(sint)dt-∫（0,π) tf(sint)dt
=∫（0,π) πf(sinx)dx-∫（0,π) xf(sinx)dx (利用积分与变量无关）
移项合并除以2得：∫（0,π) xf(sinx)dx=π/2*∫（0,π) f(sinx)dx

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