怎么用基本不等式解题?

Question

如题所述

Answer 1

基本不等式求最值运用基本不等式求最值的三原则①a，b为非负实数;

②当和a+b为定值时，积ab有最大值;当积ab为定值时，和a+b有最小值;

③a=b时，不等式中的等号成立，a≠b时，不等式中的等号不成立(这时a+b>2ab，意味着a+b的最小值与ab的最大值均不存在)。

基本不等式的常见变形公式

(1)ab≤(a,b)(a、bER);

(2)ab≤ a2+b2 (a、bER); 

(3)(a+b)²≤2(a+b²)(a、bER).

“凑”出定值的策略

利用基本不等式求最值，其关键在于如何凑出定值，可以利用凑项、凑系数、整体代换、分离、消元、换元、平方、构造不等式、参数法、待定系数法、齐次化、判别式法、放缩等变形的策略来解决。

Answer 2

基本不等式使用的环境就是，和定积最大、积定和最小，所以必须有和或者乘积是定值的时候才可以使用，如果不是定值，我们就可以通过增减配数的方法，构成和或者乘积是定值的情况，然后再使用基本不等式求值即可。

如图示这个题目，如果强制使用基本不等式求最值x+2这个时候无法消除未知数，发现如果前面不是x而是x+1时，使用基本不等式可以消除未知数，所以可以变形为：+=+1-1+2-1=-1，这就是通过配凑的方式，构造乘积为定值求和的最小值。

这个题目也可以用相似的方法解决，函数y=*3x（1-3x），因为3x（1-3x）=，所以函数y=，这就是用配凑的方式构造出和或者乘积是定值的形式，然后再使用基本不等式求最值即可。

2、1的妙用

这种题型格式比较固定，一般是两个变量为正实数，有一个代数式的值已知，求另一个代数式的最值问题，根据任意数乘以1以后数值不变的性质，已知和所求式相乘，变成互为倒数式的形式，然后再使用基本不等式求值即可。

如上图因为任意数乘以1以后数值不变，所以y===1+++12+2=4，这就是通过1的妙用，构建出积为定值的代数式，然后使用基本不等式可求最小值。

这个方法叫1的妙用，但不仅仅局限于，已知代数式的值只能是1的时候，是任意实数都可以使用这个方法，如上题中

所以代数求值时需要注意已知条件和所求问题之间的关系，通过增减项数构建出和或者乘积为定值，也可以把已知和所求代数式相乘，具体根据题目特点分析选择。