高一函数

Question

1.已知奇函数fx在0（ 包括0）到正无穷上是增函数，讨论此函数在R上的单调性
我设 x1，x2 为R上实数 x1小于x2
当x1小于0小于x2时 要怎么判断
2.已知函数对任意实数a ，b有f（a+b）=f（a）+f（b）成立，且当x大于0，fx大于0
判断函数奇偶性 、
且当x大于0，fx大于0 这个条件有什么用 ？
3.fx是奇函数，当x大于0，fx=x（1-x），则当x小于0，fx的表达式为
这里x大于或者小于0有什么用？
回答我问题啊 第二题 1.为什么要证f0=0 2. 且当x大于0，fx大于0 这个条件有什么用

Answer 1

解：（1）因为奇函数fx在0（ 包括0）到正无穷上是增函数，所以根据奇函数图像关于原点对称，所以函数在R上为单调增函数。当x1小于0小于x2时只需f(x1)<0<f(x2)
(2）因为对任意实数a ，b有f（a+b）=f（a）+f（b）成立，所以f(0+a)=f(0)+f(a),所以f(0)=0.
又因为f(-a+a)=f(a)+f(-a)=0且当x大于0，fx大于0，所以f(-a)=-f(a)，所以f(x)为奇函数
（3）令x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x(1+x),又因为fx是奇函数，所以f(x)=x(1+x)

Answer 2

1.
设x1<x2<0，则-x1>-x2>0，由于f(x)在(0,正无穷)上为增，且f(x)<0，所以
0>f(-x1)>f(-x2) （1）
又f(x)为奇函数，所以 （1）式化为
0>-f(x1)>-f(x2)
即 f(x2)>(x1)>0
从而 1/f(x2) <1/f(x1)
即 F(x2)<F(x1)
所以 F(x)在（负无穷，0）上是减函数。
2.
设x1<x2，则x2-x1>0
f(x2)
=f[x1+(x2-x1)]
=f(x1)+f(x2-x1)
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
因为对于任意的x>0，恒有f(x)<0
所以由x2-x1>0可得，f(x2-x1)<0
所以f(x2)-f(x1)<0
f(x1)>f(x2)
所以f(x)在R上是减函数

f(a+b)=f(a)+f(b)
令a=0，则有
f(0+b)=f(0)+f(b)
f(b)=f(0)+f(b)
f(0)=0
令b=-a
f(a-a)=f(a)+f(-a)
f(0)=f(a)+f(-a)
0=f(a)+f(-a)
f(-a)=-f(a)
且函数的定义域是R
所以f(x)是R上的奇函数

所以f(x)在【-3,3】上有最小值和最大值
最小值是f(3)=f(1)+f(2)= f(1)+[ f(1)+ f(1)]=3 f(1)=-6.
最大值是f(-3) = -f(3)=6.
3.
f(x)=x(1+x) x<0

Answer 3

（1）由奇函数的性质可知他在整个R上是单调递增的，所以需证f(x1)<0<f(x2)即可（2）因为f（x）对任意实数a ，b有f（a+b）=f（a）+f（b）成立，所以f(0+a)=f(0)+f(a),所以f(0)=0.
又因为f(-a+a)=f(a)+f(-a)=0且当x》0，f（x）大于0，所以f(-a)=-f(a)，所以f(x)为奇函数（3）令x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x(1+x),又因为fx是奇函数，所以此时函数为f(x)=x(1+x)