过直线上一点可以画几条垂线?

Question

如题所述

Answer 1

若为平面上则有一条，若在空间则有无数条。

（1）平面内，过直线外一点画已知直线的垂线，可以画1条：

证明如下：

设直线为L，直线外一点为A，假设过点A可以做两条直线与L垂直，垂足分别为B与C，由于AB⊥L，AC⊥L，所以AB//AC，又因为AB与AC交于点A，这与AB//AC相矛盾，所以原假设不成立，即过点A可以做1条直线与L垂直。

（2）空间中，过直线外一点画已知直线的垂线，可以画无数条：

由于空间中对于垂直的定义与平面有所不同，两直线不一定要相交，异面直线也可以垂直，因此，可先找到过点A与L垂直的平面，根据空间直线的方向向量与A点的坐标，可以确定平面的方程，在这个平面上过点A的任一一条直线都与L垂直，因此有无数条。

垂线的特点

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。垂线是直线。垂线段是一个图形，点到直线的距离是一个数量。

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，称之点到直线的距离，若两条直线相交，且相交后的四个角都为90°，则这两条直线互相垂直，即为互为垂线。

垂线的定义中，只是规定了两直线交角的大小（90°)，并没有规定两条直线的位置如何。也就是说，不论一条直线的位置如何，只要另一条与它的交角是90°，其中任何一条直线就是另一条直线的垂线。