证明等差数列的四种方法如下：
用定义证明，即证明an-an-1=m（常数）；用等差数列的性质证明，即证明2an=an-1+an+1；证明恒有等差中项，即2An=A(n-1)+A(n+1)；前n项和符合Sn=An^2+Bn。
等差数列的定义：
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
例如：1,3,5,7,9……2n-1。通项公式为：an=a1+(n-1)*d。首项a1=1，公差d=2。前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。注意：以上n均属于正整数。
等差数列的基本性质：
公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d；公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd；若{an}{bn}为等差数列，则{ an ±bn }与{kan ＋bn}(k、b为非零常数)也是等差数列。
对任何m、n ，在等差数列中有：an = am + (n－m)dm、n∈N+)，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性；一般地，当m+n=p+qm，n，p，q∈N+）时，am+an=ap+aq。
公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)；下表成等差数列且公差为m的项ak.ak+m.ak+2m.....(k,m∈N+）组成公差为md的等差数列。
在等差数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项；当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数。
等差数列的实际应用：
财务领域:等差数列可以用来计算定期存款、定投、等额本息还款等。物流领域:等差数列可以用来计算集装箱装卸的效率，也可以用来规划路线优化。
工程领域:等差数列可以用来计算钢筋的长度、钢板的长度等。地理领域:等差数列可以用来计算海拔的变化、海水的温度变化等。
医学领域:等差数列可以用来计算药物的剂量、药物的代谢等。教育领域:等差数列可以用来计算学习进度、考试成绩的变化等。