考研数学梯度问题。

Question

已知u的梯度为，Pi+Qj+Rk，求u的函数，为什么是∫Pdx+Qdy+Rdz，而不是∫Pdx或者∫Qdy或者∫Rdz其中一个。

我是这样想的：
根据梯度定义：P是u对x的偏导，Q是u对y的偏导，R是u对z的偏导。既然这样u应该等于P是u对x的积分或者Q是u对y的积分或者R是u对z的积分。
看看我哪里错了。

Answer 1

我先把问题设置到二维

我想用上图说明：

z方向/u方向的增加量，也就是f的增加量是由x和y两个方向决定的，

z不可能通过单一的方向即x或y方向积分得到。

对于三维的积分同理。

你对∫dx+dy+dz的理解有误。

Answer 2

根据梯度定义知，P是u对x的偏导，Q是u对y的偏导，R是u对z的偏导。因此有 du=Pdx+Qdy+Rdz，利用第二类曲线积分，即得 u= ∫Pdx+Qdy+Rdz+C。本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

根据梯度定义知,P是u对x的偏导,Q是u对y的偏导,R是u对z的偏导.因此有du=Pdx+Qdy+Rdz,利用第二类曲线积分,即得u=∫Pdx+Qdy+Rdz+C.本回答被网友采纳

Answer 4

这个是矢量分析的内容，原始的积分应该是∫gradFd(xi+yj+zk)=∫Pdx+Qdy+Rdz（互相垂直的矢量相乘为零）,我这里写的i,j,k都是单位矢量，梯度本身也是矢量，高等数学里面没怎么提到矢量分析，想详细了解的话可以看一下谢树艺的《矢量分析与场论》。。。望采纳

Answer 5

是对dr（矢量）的积分，xyz只是分量。