sin2 x的泰勒展开

Question

如题所述

Answer 1

1＋1／2²＋1／3²＋···＋1／n²＝2

H（调和数）

n

1＋1／2²＋1／3²＋···＋1／n²＋···＝π＾2／6

证明：可以参见黎曼zeta函数。

一个有意思的推导是欧拉给出的。

考虑Sin（x）／x

泰勒展开后有sin（x）／x＝1－x＾2／3！＋．

另外，sin（x）／x在x＝nPi的时候有零点．我们假设可以用这些零点来表示sin（x）／x那么有

sin（x）／x＝（1－x／Pi）（1＋x／Pi）（1－x／（2Pi））（1＋x／（2Pi）．．．

（成立因为左边有右边的零点必须相同）。

也就等于（1－x＾2／Pi＾2）（1－x＾2／（4Pi＾2））．

展开上面的连积，然后取x＾2项目的系数有。

－（1／Pi＾2＋1／（4Pi＾2）＋1／（9Pi＾2）＋．）＝－1／Pi＾2（1＋1／4＋1／9＋．．．1／n＾2）

这个既然是x＾2项目的系数，自然应该等于1／3！＝1／6。

所以得到

1＋1／4＋1／9＋．＝Pi＾2／6。

或者：

函数f（x）＝－x，－π。

扩展资料

定理：

设n是一个正整数。如果定义在一个包含a的区间上的函数f在a点处n＋1次可导，那么对于这个区间上的任意x，都有

f（x）＝f（a）＋f′／1！（x−a）＋f（2）（a）／2！（x−a）2＋．．．＋fn（a）／n！（x−a）n＋Rn（x）

其中的多项式称为函数在a处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x−a）n（x−a）n的高阶无穷小。

泰勒公式的定义看起来气势磅礴，高端大气。如果a＝0的话，就是麦克劳伦公式，即f（x）＝∑Nn＝0fn（0）／n！xn＋Rn（x）f（x）＝∑n＝0Nfn（0）／n！xn＋Rn（x），这个看起来简单一点。