第1个回答 2008-12-06
摘 要：微积分作为数学知识的基础 ,是学习经济学的必备知识 ,着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用，计算边际成本、 边际收入、 边际利润并解释其经济意义, 寻求最小生产成本或制定获得最大利润的一系列策略。�
关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值�
1 导数在经济分析中的应用�
1.1 边际分析在经济分析中的的应用�
1.1.1 边际需求与边际供给�
设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q�’=f�’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。�
1.1.2 边际成本函数�
总成本函数C=C(Q)=C�0+C�1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C�’=C�’(Q)．C�’(Q�0)称为当产量为Q�0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q�0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C�’�’(Q�0)个单位。�
1.1.3 边际收益函数�
总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．�
R’(Q�0)称为当商品销售量为Q�0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q�0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R�’(Q�0)个单位。�
1.1.4 边际利润函数�
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q�0)称为当产量为Q�0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q�0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q�0)个单位。�
例1 某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q�2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。�
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：�
R（Q）=20Q�
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q�2-1Q+20）�
=-Q�2+30Q-20�
L’(Q)=(-Q�2+30Q-20)’=-2Q+30�
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为�
L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；�
L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；�
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；�
以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。�
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？�
1.2 弹性在经济分析中的应用�
1.2.1 弹性函数�
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=�lim�δx→0
�Δ�yy�Δ�xx=�lim�δx→0�Δ�y�Δ�x．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x�0处，弹性函数值Ef(x�0)Ex=f’(x�0)xf(x�0)称为f（x）在点x=x�0处的弹性值，简称弹性。EE�xf(x�0)%表示在点x=x�0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EE�xf(x�0)%。�
1.2.2 需求弹性�
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。�
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)�
例2 设某商品的需求函数为Q=e��-p5�，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。�
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e��-p5�.pe��-p5�=p5；�
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2�
η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。�
η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。 η(6)=1.2>1，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。�
1.2.3 收益弹性�
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即�
R=PQ=Pf(p)�
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)�
所以，收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
�
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。�
（1）若η<1，则EREP>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；�
（2）若η>1，则EREP<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；�
（3）若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。�
1.3 最大值与最小值在经济问题中的应用�
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。�
1.3.1 最低成本问题�
例3 设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx�3-nx�2+px，（常数m>0,n>0,p>0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。�
解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx�2-nx+p，�C’�=2mx-n�
令�C’�，得x=n2m，而�C’’�(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。�
（2）(n2m)=m(n2m)�2-n(n2m)+p=(4mp-n�24m)，又C’(x)=3mx�2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)�2-2m(n2m)+p=4mp-n�24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。�
1.3.2 最大利润问题�
例4 设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？�
解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q�
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q�21000�
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q�21000+40Q-60000�
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000�
∵L’’(Q)=-1500<0∴Q=2000时L最大，L（2000）=340000元�
所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。
�
2 积分在经济中的应用�
在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。�
例5 设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C�0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。�
解:总成本函数为�
C(x)=∫��x��0(100+2t)dt+C(0)=100x+x�2+1000�
总收益函数为R(x)=500x�
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x�2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-200�2-1000=39000（元）。�
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。�
综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。