微分方程的特解

Question

方程右边是x的2次方的多项式，那么特解应该假设为2次方多项式还是3次方多项式？

Answer 1

针对二阶常系数线性非齐次微分方程，当非齐次项是n次多项式时，特解的情形可归纳如下：

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y''+py'+qy=f(x)
其中f(x)=Pn(x)=a0+a1x+...a(n-1)x^(n-1)+anx^n
即f(x)为x的n次多项式Pn(x)
由于多项式的导仍为多项式（只是次数降低），故y''+py'+qy=Pn(x)的特解可假设为y''(x)=Q(x)（Q(x)也是多项式）
代入特解得 Q''(x)+pQ'(x)+qQ(x)=Pn(x)

（1）若q≠0，左边的最高次为Q(x)，故Q(x)应也是n次多项式
所以设y*=Qn(x)=A0+A1x+A2x²+...+Anx^n（A0,A1,...,An为待定系数）

（2）若q=0，p≠0，则原方程为Q''(x)+pQ'(x)=Pn(x)
故应要求Q'(x)为n次多项式，即Q(x)为n+1次
所以设y*=xQn(x)

（3）若q=0，p=0，则原方程为Q''(x)=Pn(x)，应设y*=x²Qn(x)
对于这种简单的情况，可以通过两次积分求出微分方程的通解
y=∫[∫f(x)dx]dx+C1x+C2

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题目中的情况即是Pn(x)=a0+a1x+a2x²
那么可根据p,q是否为零选择不同的特解形式
1、微分方程y''-3y'+2y=1+4x+x²，可设特解y*=A0+A1x+A2x²
2、微分方程y''-3y'=1+4x+x²，可设特解y*=x(A0+A1x+A2x²)
3、微分方程y''=1+4x+x²，可设特解y*=x²(A0+A1x+A2x²)

Answer 2

你的情况是属于f(x)=(b0x^m+b1x^(m-1)+...+b(m-1)x+bm)e^(ax)的情况。
注：里面b(m-1)代表第（m-1)个系数，这里不能贴图只能这么表示了。
你说x的两次方，所以a=0;
1）如果特征方程里面a=0是两重根的话特解y=x^2*(b0x^2+b1x+b2),然后带入方程求出系数b0和b1,b2；
2）如果特征方程里面两个根里面有一个是0的话，特解y=x*(b0x^2+b1x+b2)；
3）a=0不是特征方程的根，那么就直接y=b0x^2+b1x+b2。

另外，我回答的是两阶常系数方程，一般考试考到这里也就差不多了。

Answer 3

要看是几阶方程
如果右边是x^2,那左边一般比右边高阶数次
比如如果是2阶方程就设x^4的多项式,因为做一次微分次数就减一

Answer 4

如果方程的左端含Y
特解设为同次多项式
如果方程的左端不含Y
特解设为同次多项式与X的乘积

Answer 5

http://www.efunda.com/math/ode/linearode_undeterminedcoeff.cfm
这里有一个表，都是相对应的怎么设特解方程的。本回答被提问者采纳