牛顿莱布尼茨公式推导方法如下：
定理：若函数f在[a,b]上连续，且存在原函数F，即F’(x)=f(x)，x∈[a,b]，则f在[a,b]上可积，且∫(ab)f(x)dx=F(b)-F(a).称为牛顿—莱布尼茨公式，常写成：∫(a->b)f(x)dx=F(x)|(a->b).
用老黄的话说，就是：函数的定积分，等于积分区间两个端点的对应原函数的差。默认右端点的原函数减去左端点的原函数。下面是它的证明过程，也是推导过程。注意定积分定义的运用：
证：任取T={a=x0,x1,…,xn=b},在每个[xi-1,xi]上运用拉格朗日中值定理，注意，定积分的定义中，分割必须是任取的
则分别存在ηi∈(xi-1,xi)，i=1,2,…,n，使得。注意，定积分的定义中，各小分区的点也必须是任取的，而这里的ηi受到分区端点的限制，所以不是任取的
F(b)-F(a)=∑(i=1->n)(F(xi)-F(xi-1))=∑(i=1->n)F’(ηi)△xi=∑(i=1->n)f(ηi)△xi.这是函数f的一个积分和，被证明是一个定值。
因为f在[a,b]上连续，从而一致连续，∴∀ε>0，存在δ>0，使这是为了应用定积分定义证明公式的一个铺垫，方法不唯一，但是利用一致连续性的定义是比较丝滑的一种证明方法
当x’,x”∈[a,b]且|x’-x”|<δ时，|f(x’)-f(x”)|<ε/(b-a).b-a是一个定值，表示积分区间的长度，因此ε/(b-a)的本质，仍是一个“ε”.这一步显得有点粗暴，但有效。之所以要构造成这个形式，是为了完美得到定积分的定义不等式，看到最后你就会明白了。
于是，当△xi≤‖T‖<δ时，任取ξi∈(xi-1,xi)，便有|ξi-ηi|<δ，ξi才是定积分的定义中，各小分区中各自任取的点，它的所有积分和，才是定义需要的积分和。只要分割的模小于δ,自然，每个小分区中的任意两点的距离，都会小于δ.这样就符合一致连续性定义不等式的条件。
所以|∑(i=1->n)f(ξi)△xi-∑(i=1->n)f(ηi)△xi|=|∑(i=1->n)(f(ξi)-f(ηi))△xi|≤∑(i=1->n)|f(ξi)-f(ηi)|△xi<ε/(b-a)∑(i=1->n)△xi=ε.
因此，可推导出定积分定义的不等式，其中∑(i=1->n)△xi=b-a，这就是上面的一致连续性定义不等式要构造成ε/(b-a)的原因，目的就是约掉分母，得到ε，使结果|∑(i=1->n)f(ξi)△xi-∑(i=1->n)f(ηi)△xi|<ε更加契合定积分定义的不等式形式，但这不是必要的，只是一种完美主义者的追求。