求证矩阵A可逆

Question

A不等于0，a的伴随矩阵等于a的转置矩阵，求证a可逆

Answer 1

以A*表示伴随矩阵，A'表示转置矩阵 －－－－－－ 反证法。假设n阶矩阵A不是可逆的，则|A|＝0。 A*＝A'，则AA'＝AA*＝|A|E，E是单位矩阵。所以AA'＝0。 设A的第i行j列元素是aij，则AA'的第k个主对角线元素是∑(akj)^2，j＝1,2,...,n（k＝1,2,...,n）。 所以akj＝0（j,k＝1,2,...,n）。。 所以A＝0，与A≠0矛盾。 所以，A可逆。