一个数学最值问题

Question

已知x,y,z为正实数,且有x+y+z=1,求x^4/[y(1-y^2)]+y^4/[z(1-z^2)]+z^4/[x(1-x^2)],的最小值.

答案中有,直接由原式得
x^4/[y(1-y)(1+y)]+y/8+(1-y)/16+(1+y)/32 .....该式子是怎么来得?????
还是不太明白`~~`为什么"填的项一定是ay+b(1+y)+c(1-y)的形式"且这是怎么添项,这样原式不就变了吗???
还有"代入得a=4 b=1 c=2 且x^4/[y(1-y^2)]的系数应为32 '
这是什么意思????

Answer 1

调用了高次均值不等式
x^4/[y(1-y^2)]＝x^4/[y(1+y)(1-y)]
观察这个式子 分子4次分母3次 可以联想到添项来凑出均值不等式的形式
且填的项一定是ay+b(1+y)+c(1-y)的形式
因为原式是对称轮换式 可以猜测取等条件是x=y=z=1/3
代入得a=4 b=1 c=2 且x^4/[y(1-y^2)]的系数应为32
于是就有了32x^4/[y(1-y)(1+y)]+4y+2(1-y)+(1+y)(即你的那个式子乘32的结果)
调用均值不等式 得该式>=16x
所以32x^4/[y(1-y)(1+y)]>=16x-3-3y,即
同理可得另外2个式子 加和 可得原式>=1/8 且在x＝y＝z时候取等
这类竞赛题目 对观察力有很高要求 而且要在经验得基础上大胆猜测 要多多练习才能做好

关于那个系数 a b c 只要满足那个比例就可以 并不是确数 最后不影响结果
添项自然是先添上以后通过变形 不等式一边只留下待求的式子就可以了 并不是导致原式改变
首先可以猜出来x=y=z=1/3的时候是取最值的条件
然后设了系数 把x y z 代进去 因为均值不等式取等的条件是各个部分都相等 所以ay＝b(1+y)＝c(1-y) 其中y=1/3 然后a b c 比例就确定了 那个系数32和abc的比例有关 也可能是别的数

Answer 2

用基本不等式a^2+b^2>=2ab的变化式得出来的。