已知f(x)是定义在R上的函数，若对任意x1，x2∈R，都有f((x1+x2)/2)<=(f(x1)+f(x2))/2成立

Question

已知f(x)是定义在R上的函数，若对任意x1，x2∈R，都有f((x1+x2)/2)<=(f(x1)+f(x2))/2成立，则称函数f(x)为R上的凹函数.根据定义解答：

设二次函数f(x)=ax^2+x(a为常数，且a不等于0)，求证：当a>0时，函数
f(x)为R上的凹函数.

Answer 1

f((x1+x2)/2)=a[(x1+x2)/2]^2+((x1+x2)/2
(f(x1)+f(x2))/2=(ax1^2+x1+ax2^2+x2)/2=[a(x1^2+x2^2)+x1+x2]/2
a(x1^2+x2^2)/2-a[(x1+x2)/2]^2=(x1+x2)^2/4≥0
a(x1^2+x2^2)/2≥a[(x1+x2)/2]^2
[a(x1^2+x2^2)+x1+x2]/2≥a[(x1+x2)/2]^2+((x1+x2)/2
f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2
当a>0时，函数
f(x)为R上的凹函数.