有道题想请各位解答一下

Question

f(X)在区间[-a,a]上连续，在(-a,a)上可导，f(a)=f(-a),a>0.求证在(-a,a)上至少存在一点X使得f`(X)=2Xf(X)

Answer 1

f`(X)=2Xf(X)是一个可分离变量的一阶微分方程
解之得f(x)*e^(-x^2)=C,C为任意常数，令C=0
取等号左边部分做辅助函数G(x)=f(x)*e^(-x^2)
因为f(a)=f(-a),所以G(a)=G(-a),
已知f(X)在区间[-a,a]上连续，在(-a,a)上可导。根据微分中值定理（具体为罗尔定理），存在X属于(-a,a)满足G'(x)=0,即f`(X)=2Xf(X)

Answer 2

构造函数：
F（t)=e^（-t^2）f(t)
则显然
因为f(a)=f(-a)
所以
F（a)=e^（-a^2）f(a)=e^（-（-a）^2）f(-a)=F（-a)
则由罗尔定理可知
在(-a,a)上至少存在一点X使得
F`（x)=0
即e^（x^2）f`(x)-2xe^（x^2）f(x)=0

化简后即f`(x)=2xf(x)本回答被提问者采纳

Answer 3

令g(x)=f(x)*e^(-x^2)

则g(a)=f(a)*e^(-a^2)=g(-a)
有f(x)的连续性和可导性可得到g(x)的可导性
由罗尔定理存在一点X使得f'(X)=0
而
f'(X)=f'(X)*e^(-X^2)-2Xf(X)e^(-x^2)=0
约去e^(-x^2)可得
f'(X)=2Xf(X)