求方程y''=x/y'满足初始条件y(1)=-1,y'(1)=1的特解

Question

如题所述

Answer 1

求微分方程y''=x/y'满足初始条件y(1)=-1,y'(1)=1的特解
解：令y'=dy/dx=p，则y''=dy'/dx=dp/dx
代入原式得 dp/dx=x/p
分离变量得 pdp=xdx
积分之得(1/2)p²=(1/2)x²+(1/2)c₁
即p²=x²+c₁，已知x=1时y'=p=1，故c₁=0;
于是得p=±x，即dy/dx=±x;
dy=±xdx
故y=±(1/2)x²+c₂
代入初始条件y(1)=-1,故c₂=-1/2或-3/2.
于是原方程的特解为y=(1/2)x²-3/2，或y=-(1/2)x²-1/2.