概率论，求解答

Question

第3.9题。(2)问改成求X，Y的边缘分布律。

Answer 1

(1) 常数 k 的确定：
我们需要计算概率密度函数的归一化积分：
∫∫ ke^(-(3x+4y)) dx dy = 1
由于概率密度函数在 X 和 Y 大于 0 的区域内定义，我们可以将积分范围设为 x > 0 和 y > 0：
∫∫ ke^(-(3x+4y)) dx dy = k ∫∫ e^(-(3x+4y)) dx dy
根据指数函数的积分性质，我们可以分别对 x 和 y 进行积分：
∫ e^(-3x) dx = [-1/3 * e^(-3x)] | 0→∞ = 1/3
∫ e^(-4y) dy = [-1/4 * e^(-4y)] | 0→∞ = 1/4
将两个积分结果相乘：
(1/3) * (1/4) = 1/12
这样，我们得到了常数 k 的值，即 k = 12。
(2) 概率 P(X+Y<1) 的计算：
要计算概率 P(X+Y<1)，我们需要确定随机变量 X 和 Y 的取值范围，并将其代入概率密度函数进行积分。在这个特定的情况下，我们可以通过几何直观和几何分析来解决这个问题。
观察到 x+y<1 可以表示在第一象限内位于直线 x+y=1 上方的区域。该区域是一个直角三角形，其两个边界分别是 x=0 和 y=0。
因此，我们可以将该区域进行几何分析，计算其面积来求解概率 P(X+Y<1)。
直角三角形的面积公式为：(1/2) * 底边长 * 高。
在这个问题中，底边长为 1，高为 1。
所以，P(X+Y<1) = (1/2) * 1 * 1 = 1/2。
(3) 判断 X 与 Y 是否相互独立：
要判断 X 与 Y 是否相互独立，我们需要计算边缘概率密度函数 f_X(x) 和 f_Y(y)，并判断 f_X(x)·f_Y(y) 是否等于联合概率密度函数 F(x, y)。
边缘概率密度函数 f_X(x) 可以通过对 Y 进行积分来计算：
f_X(x) = ∫(0→∞) ke^(-(3x+4y)) dy
将联合概率密度函数代入计算得：
f_X(x) = k * ∫(0→∞) e^(-(3x+4y)) dy
计算该积分可能需要使用数值方法或数学软件。
同样地，边缘概率密度函数 f_Y(y) 可以通过对 X 进行积分来计算。
如果 f_X(x)·f_Y(y) 等于 F(x, y)，那么 X 与 Y 是相互独立的；否则，它们不是相互独立的。
根据题目提供的概率密度函数，您可以进行积分计算，并比较边缘概率密度函数和联合概率密度函数的关系，以判断 X 与 Y 是否相互独立。