黎曼球面的度量

Question

如题所述

Answer 1

黎曼曲面没有特定的黎曼度量。但是，黎曼曲面的复结构的确在共形等价下确定了唯一的度量。（两个度量称为共形等价，如果他们的区别只是一个正光滑函数的因子。）反过来，可定向曲面上的任意度量唯一的决定一个复结构，该结构在共形等价下依赖于该度量。因此可定向曲面的复结构和该曲面上的度量的共形类有一一对应。
给定共形类，可以用共形对称性找到一个有合适属性的代表度量。精确地讲，每个共形类总是有一个常曲率完备度量。
在黎曼球面的情况，高斯-博内定理表明常曲率度量必须有正的曲率K。因而该度量必须通过球极投影等度于中半径为的球面。对于黎曼球面上的ζ-图，K = 1度量可以给出如下：
在实坐标ζ = u + iv中，该公式为：
除了一个常数因子，该度量和复射影空间（黎曼球面就是一个特例）中的富比尼-施图迪度量一样。
反过来，令S代表（作为微分流形或者拓扑流形的）球面。按照单值化定理，存在唯一的S上的复结构。由此可见，S上的度量和球面度量共形等价。所有这样的度量构成一个共形类。因此圆球度量不是黎曼球面的内在度量，因为圆形并不是共形几何的不变量。黎曼球面只是一个共形流形而非黎曼流形。但是，如果需要用到黎曼球面上的黎曼度量，圆形度量是一个很自然的选择。