我明天要参加数学高考，求一道导数题的解答。

Question

我在某一处的理解跟一个数学老师的理解不一样，请您看看我的部分解答过程，看看我有没有错误，并说明理由。
设a为实数，函数f（x）=x³-ax²+（a²-1）x在（-∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a的取值范围
解：∵设a为实数，f（x）=x³-ax²+（a²-1）x
∴f′(x)=3x²-2ax＋a²－1
∴△=4a²-12a²+12=12-8a²
若△=0，则
12-8a²=0
∴a=±√6/2
①当a=√6/2时，f′(x)=3x²-2ax＋a²－1=3x²-√6x＋3/2－1=3x²-√6x＋1/2
令f′(x)=0,则x=√6/6
此时x不在（-∞，0）和（1，+∞）上，所以a=√6/2满足题意
②当a=-√6/2时，f′(x)=3x²＋√6x＋1/2，令f′(x)=0，则x=-√6/6
此时x在（-∞，0）上，且此时f′(x)=0，所以a=-√6/2不满足题意
有的数学老师认为，a=√6/2和a=-√6/2都满足题意。

Answer 1

你需要理解的是导数和函数增减性之间的关系。
当导数在某个区间内大于等于0时，则函数递增，小于等于0时，则函数递减。等于0时，则函数在该区间内为常值函数。对于你的问题，当a=-√6/2时，f′(x)=3x²＋√6x＋1/2 在实数域上都是大于等于0的，所以函数是递增的。你的数学老师说的没有错。

f′(x)=0时x=-√6/6是唯一的零点，此时x=-√6/6是函数f的平衡点，但即非极大值点，亦非极小值点。但f在实数域上仍然是递增函数。

Answer 2

当a=±√6/2的时候，△=0，f′(x) >= 0 在R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增，在（-∞，0）和（1，+∞）更加单调递增了，跟f(x) 的拐点是否落在（-∞，0）和（1，+∞）上无关了，所以a=√6/2和a=-√6/2都满足题意，不知道你是不是明白。

希望能帮到你，
高考加油追问

谢谢，但我还想继续问下您。我看到数学教材上写的是：“一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间（a，b）内，如果f′(x)＞0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减。”
我的数学书没提到f′(x)=0时的单调性。如果f′(x)≥0，f（x）就单调递增吗？如果f′(x)≤0，f（x）就单调递减吗？

追答

不一定哦。
如果某些不相邻的点f′(x) = 0而其它点f′(x) > 0的话，那么说f(x)单调递增是可以的；如果有一段是f'(x) = 0，那么这一段f(x)就是一条平行于x轴的线段了，这一段就没有单调性。
比如f(x) = x^3（x的三次方）在x = 0时，f'(x) = 0，但f(x)在R单调递增
你可以看下“拐点”的定义，再自己画图看看

追问

您怎么判断出来f′(x)=3x²-√6x＋1/2≥0且f′(x)=3x²＋√6x＋1/2≥0？也就是说，您怎么证明出来，当a=±√6/2的时候，f′(x) ≥ 0 在R上恒成立？

追答

二次函数的根的性质啊，

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Answer 3

f'(x)=3x^2-2ax+a^2-1

f'(x)=0
Δ=4a^2-4×3×(a^2-1)
=12-8a^2
x=[2a±√(12-8a^2)]/6
=[a±√(3-2a^2)]/3
根据题意，有：
[a-√(3-2a^2)]/3>=0...........(1)
[a+√(3-2a^2)]/3<=1..........(2)
(1)：a-√(3-2a^2)>=0
a>=√(3-2a^2)
a^2>=3-2a^2
3a^2>=3
a^2>=1
a<=-1或者a>=1
(2)：a+√(3-2a^2)<=3
√(3-2a^2)<=3-a
3-2a^2<=9-6a+a^2
3a^2-6a-6>=0
3(a^2-2a-2)>=0
a^2-2a-2>=0
(a-1)^2>=3
a-1<=-√3
a<=1-√3
或者 a-1>=√3
a>=1+√3
综合(1)(2)，a的取值范围：(-∞,-1]U[1+√3,+∞)本回答被网友采纳