线性代数证明题

Question

设A为3阶矩阵，a1，a2为矩阵A的分别属于特征值－1和1的特征向量，a3满足Aa3＝a2＋a3，证明a1，a2，a3线性无关。

Answer 1

帮你证证看，答案稍等。解答如下：
A*a1=-a1,A*a2=a2; A*a3=a2+a3
反证法：假设三者线性相关，则存在k1,k2不全为0满足a3=k1*a1+k2*a2;
所以A*a3=A*( k1*a1+k2*a2) = -k1*a1+k2*a2
a2+a3 = k1*a1+k2*a2 + a2
所以-k1*a1+k2*a2 = k1*a1+k2*a2 + a2
即2*k1*a1 + a2 = 0;
因为a1,a2是不同特征值的特征向量,所以a1,a2线性无关。所以上式不成立，所以假设不成立，所以三者线性无关