勾股数的规律有哪些？

Question

你们说得简单明了些，不要不懂装懂，误人子弟。
我说过：是勾股数的规律！还有，我要你们说得简单明了！不要用那些用得着特殊符号（如∈）的式子，最好用文字表述！

Answer 1

在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2。

满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。

例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。

1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么

c=2+9+6=17。

则8、15、17便是一组勾股数。

证明：

∴a、b、c构成一组勾股数

2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么

a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。

例如：当m=4，n=3时，

a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25

则7、24、25便是一组勾股数。

证明：

∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2

=m4-2m2n2+n4+4m2n2

=m4+2m2n2+4n2

=(m2+n2)2

=c2

∴a、b、c构成一组勾股数。

3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。

首先观察已知数是奇数还是偶数。

(1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。

例如9是勾股数中的一个数，

那么9、40、41便是一组勾股数。

证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为

(2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。

例如8是勾股数组中的一个数。

那么8、15，17便是一组勾股数。

证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1

∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1

=n4+2n2+1

=(n2+1)2

∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。

Answer 2

(2N+1)^2+(2N^2+2N)^2=(2N^2+2N+1)^2

2N+1，2N^2+2N，2N^2+2N+1
N=1，
3，4，5
N=2
5，12，13
N=3
7，24，25
其实就是勾股定律了

就是直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方，即：
直角三角形ABC,两个直角边长为a,b,斜边长为c，则满足：

a^2+b^2=c^2

中国古代的一个特殊例子就是：勾3，股4，弦5

即3^2+4^2=5^2
A^2+B^2=c^2
就是直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方，即：
直角三角形ABC,两个直角边长为A,B,斜边长为c
勾股定律：直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方
即：A^2+B^2=c^2

常见的勾股数 3、4、5；5、12、13

Answer 3

若a^2+b^2=c^2,(a,b,c∈Z+)则有通解
a=k(m^2-n^2)
b=k*2mn
c=k(m^2+n^2)
其中m、n、k都是正整数,(m,n)=1 ,k=(a,b)
举个例子10,24,26是一组勾股数吗？
a=10,b=24,c=26
因为k=(a,b)=2,所以mn=6,m^2-n^2=5解得m=3,n=2
此时c=k(m^2+n^2)=2(3^2+2^2)=26正好满足勾股数
所以10,24,26是勾股数
这个定理能够证明勾股数，还能产生勾股数（只要给定m,n,k即可）

Answer 4

你的意思是不是求下面这个方程
x^2+y^=z^2的所有正整数解？

告诉你结论x=2ab,y=a^2-b^2,z=a^2＋b^2
a和b可以是任意正整数，但是要满足a>b

如当a＝2，b＝1时候，就是x=4,y=3,z=5
当a＝3，b＝1的时候，就是x=6,y=8,z=10
当a＝3，b＝2时候，就是x＝12，y＝5，z＝13

Answer 5

勾三股四玄五啊，即3^2+4^2=5^2

两直角边的平方和 等于斜边的平方和。

只能用于直角三角形