求y=1/cosx的不定积分

Question

如题所述

Answer 1

如果你的题目是∫1/cosx
dx
那么
1/cosx=secx
就相当于做∫secx
dx
=In|secx+tanx|+c这个是公式应该能直接用
过程是∫secx
dx
=∫cosx/(cosx)²
dx=∫1/(1-sin²x)dsinx
这时候就相当于做∫1/(1-x²)dx
这个是有公式的
∫a/(a-x²)=0.5aIn|(x-a)/(x+a)|+c
所以
∫secx
dx=0.5|(1+sinx)/(1-sinx)|+c
并且
(1+sinx)/(1-sinx)=（1+sinx）²/(1-sin²x)=(1+sinx)²/cos²x=(secx+tanx)²
所以
∫secx
dx=0.5In(secx+tanx)²+c=In|secx+tanx|+c

Answer 2

原式=∫(tanx)^2secxdx
=∫[(secx)^2-1]secxdx
=∫(secx)^3dx-∫secxdx
=∫(secx)^3dx-ln|tanx+secx|……①
而∫(secx)^3dx=∫secxd(tanx)
=secxtanx-∫tanxd(secx)
=secxtanx-∫[secx[(secx)^2-1]]dx
=secxtanx-∫(secx)^3dx+∫secxdx
=secxtanx+ln|tanx+secx|-∫(secx)^3dx
移项且两端除以2得
∫(secx)^3dx=(1/2)secxtanx+(1/2)ln|tanx+secx|+c…………②
将②式代回①式即为所求。