答案最后一段话不理解，为什么从1的去心领域二阶导就判断出0的情况

Question

如题所述

Answer 1

解法有问题。这种解法只能确定x=1时的情形。因此题目中的x=0，应该是x=1.

x=1时，分母(sinπ)^3=0,分子也必须为0，才是0/0型不定式，才可以用罗比达法则求到极限2，如果分母是0，分子不是0，那么，极限就是∞，不会是2。因此f''(1)=0
f(x)二阶连续可导，当然一阶也是连续可导的，这是前提。

其次，x-->1时，f''(x)/sin^3(πx)-->2，分子分母都是连续的
据此，使用罗比达法则:
f'''(x)/[3sin^2(πx)cos(πx)π]=2
x-->1时，分母仍然是0，又没有说f(x)有4阶、5阶导数，
因此，可以假定，分母中的sin^2(πx)与分子中的同样项约掉了。设f'''(x)=g(x)sin^2(πx)
f'''(x)/[3sin^2(πx)cos(πx)π]=g(x)/[3πcos(πx)]
g(1)/[3πcos(π)]=g(1)/[-3π]=2,g(1)=-6π
g(x)不能据此确定。我们可以构造一个g(x)，满足所有要求，但是x=0不是反弯点，就能推翻题目解法的结论

设：g(x)=-6π
f'''(x)=-6πsin^2(πx)=-3π[1-cos(2πx)]=-3π+3πcos(2πx)
f''(x)=-3πx+3sin(2πx)/2+C,f''(1)=-3π+3sin(2π)/2+C=-3π+C=0,C=3π
f''(x)=-3πx+3sin(2πx)/2+3π
x-->1,f''(x)/sin^3(πx)=[-3πx+3sin(2πx)/2+3π]/sin^3(πx)-->[-3π+3πcos(2πx)]/[3πsin^2(πx)cos(πx)]
=-6πsin^2(πx)/[3πsin^2(πx)cos(πx)]=-2/cos(πx)=-2/cosπ=-2/(-1)=2，满足题意。

f'(x)=-3πx^2/2-3cos(2πx)/4π+3πx+D
f(x)=-πx^3/2-3sin(2πx)/8π^2+3πx^2/2+Dx+E
f(0)=E
f'(0)=-3/4π+D,不一定为0，不一定是极值点。
f''(0)=3π>0,x=0既不是极值点，也不是拐点。

我们也可以构造另一个函数g(x)=6πcos(πx),f'''(x)=6πcos(πx)sin^2(πx)

此时：x-->1，f''(x)/sin^3(πx)-->f'''(x)/[3πsin^2(πx)cos(πx)]

=6πcos(πx)sin^2(πx)/[3πsin^2(πx)cos(πx)]
=2
满足题意。
f'''(x)=3πsin(2πx)sin(πx)=(3π/2)[cos(2πx-πx)-cos(2πx+πx)]
=(3π/2)[cos(πx)-cos(3πx)]
f''(x)=(3/2)[sin(πx)-sin(3πx)/3]+C,f''(1)=(3/2)[sin(π)-sin(3π)/3]+C=C=0
f''(x)=(3/2)[sin(πx)-sin(3πx)/3]
f'(x)=-(3/2π)[cos(πx)-cos(3πx)/9]+D
f(x)=-(3/2π^2)[sin(πx)-sin(3πx)/27]+Dx+E
f(0)=E
f'(0)=-(3/2π)[1-1/9]+D=-4/3π+D,不一定为0，不一定是极值点。
f''(0)=0
在x=0的邻域里面：f'''(x)=(3π/2)[cos(πx)-cos(3πx)]>0,因此f''(x)在x=0的邻域是增函数，f''(x)通过x=0时，值由负变为正的，x=0是反弯点。

结论是：不能确定。

Answer 2

二阶导数等于0已经得到了，而且当x比1稍大时sinx小于0因为极限是2所以二阶导数也要小于0，同理当x比1稍小时二阶导数大于0，二阶导数等于0左右异号，就是拐点本回答被网友采纳