证f(x)=x^(1/2)-1/x在定义域内单增。
设在x1<x2
则f(x1)-f(x2)
=x1^(1/2)-1/x1-x2^(1/2)+1/x2
=(x1-x2)[1/(根号x1+根号x2)+1/x1x2]
显然只要1/(根号x1+根号x2)+1/x1x2大于零就是单增的
显然,因为定义域为x>=0
所以1/(根号x1+根号x2)+1/x1x2大于零恒大于零。所以在整个定义域类都是单增的
满足等式f(x)=1的实数的值至多有一个
因为函数单增,所以最多有一个解,其实这就是一个定理,不过也可以这么证明
假设有两不等根满足
f(x1)=1
f(x2)=1
则f(x1)-f(x2)=0
而f(x1)-f(x2)
=x1^(1/2)-1/x1-x2^(1/2)+1/x2
=(x1-x2)[1/(根号x1+根号x2)+1/x1x2]
而[1/(根号x1+根号x2)+1/x1x2]恒大于零
且x1不等于x2则f(x1)不等于f(x2)
矛盾!所以假设不成立
所以最多只有两根
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