已知x趋于无穷时,求极限。

Question

如题所述

Answer 1

首先，根据极限的定义，当x趋于0的时候，我们可以将原式转化为以下形式:
lim(x→0⁺)[(arcsin(x))^x - x^x]/x^2ln^2(1+x)
接着，我们可以使用泰勒公式将arcsin(x)和x^x在x=0处展开:
arcsin(x) = x - (1/6)x^3 + O(x^5)
x^x = 1 + xln(x) + O(x^2)
将上述展开式代入原式：
lim(x→0⁺)[(x-(1/6)x^3+O(x^5))^x - (1+xln(x)+O(x^2))]/x^2ln^2(1+x)
我们可以继续对(x-(1/6)x^3+O(x^5))^x和ln(1+x)在x=0处展开，因为这两个函数在x=0处均等于0，所以展开式的低阶项是不需要的。
(x-(1/6)x^3+O(x^5))^x = 1 + O(x^2)
ln(1+x) = x + O(x^2)
代入原式中得到：
lim(x→0⁺)[1 - (1/6)x^2 + O(x^4)]/x^2ln^2(1+x)
= lim(x→0⁺)[1/x^2 - (1/6) + O(x^2)]/ln^2(1+x)
使用洛必达法则，可以得到：
lim(x→0⁺)1/x^2 = +∞
lim(x→0⁺)ln^2(1+x) = 0
因此，原式的极限等于正无穷。