比如 ∫∫(x-y)dxdy D: (x-1)²+(y-1)²≤2 x≤y
画出来是一个 圆心为(1,1) 半径为√2 的圆。
如果用极坐标做,那么θ的范围怎么定?
把它改成 u=x-1 v=x-1 则
∫∫(x-y)dxdy=∫∫(u-v)dudv 画出来是一个 圆心为(0,0) 半径为√2 的圆。
这里的θ的范围怎么定?
0≤r≤√2 θ的范围呢?
另外 不是可以把这个圆看作是四个1/4圆来计算吗?
极坐标,θ的变化都是从原点位置开始扫起的
圆心(1,1),半径√2
圆心到原点所在的直线是y = x,于是该圆在原点的切线为y = - x
画图观看这切线与圆的变化,便知道θ由- π/4变化到3π/4
所以θ∈[- π/4,3π/4]
这个圆不是关于原点对称的,所以不能用1/4圆来算
追问答案给的 θ∈[ π/4,3π/4]
另外我做一个变量替换 不就可以让圆点移到圆心吗
就像我做的u和v
你那个答案也没错的。
这圆心可是关于y = x对称,所以变化范围可由[- π/4,3π/4]变为[π/4,3π/4],不过积分要变为2倍,就是1/2圆
而你那个变换,倒要把图画出来比较好算的,你那个看似用雅可比行列式变换的,但是圆形区域不太适合
一、一般分3种情况:
原点(极点)在积分区域的内部,角度范围从0到2pi;
2.原点(极点)在积分区域的边界,角度范围从区域的边界,按逆时针方向扫过去,到另一条止;
3.原点(极点)在积分区域之外,角度范围从区域的靠极轴的边界,按逆时针方向扫过去,到另一条止。
二、方法:
1、将积分区域,分成一个个单连通区域;
2、所谓的单连通区域,就是任何极半径, 最多只能穿透一次、再触及区域曲线;
3、每一个单连通区域,都具有两根切线;
4、对每一个单连通区域,积分时的角度, 按顺时针方向,从第一根切线的角度, 积分到第二根曲线的角度;
5、整体的积分,就是对每个单连通区域的积分, 然后求和,得到最后结果;
6、角度必须是弧度制。
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