奇函数的定积分是什么？

Question

如题所述

Answer 1

奇函数的定积分是0。因为只有当被积函数是奇函数时，且它的积分区域是关于原点对称的话，那么定积分才等于0，如果它的积分区域不关于原点对称的话，那么定积分是不等于0的。定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a，b]上的积分和的极限，一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。

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利用函数奇偶性求定积分，先确认积分区间是否关于远点对称，在来判断积分函数的奇偶性，如果积分函数为奇函数，则其在积分区间上定积分为0；如果积分函数为偶函数，则其在积分区间上的定积分为2倍的积分区间一半的定积分值。

Answer 2

如果一个函数是奇函数，那么它在对称区间上的定积分是0。
证明：设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上是奇函数，即 f(x)=−f(−x)，且 a<b。
那么，函数 f(x) 在区间 [−b,−a] 上也是奇函数。
因此，
∫abf(x)dx=∫−b−af(x)dx
=∫−b−a−f(−x)dx
=∫ab−f(−x)d(−x)
=∫abf(x)dx
所以，∫abf(x)dx=0。
证毕。