n 1个n维向量必相关,但是阶梯型向量组必无关，这2个定理不是就矛盾了吗?请解释一下谢谢

Question

如题所述

Answer 1

不矛盾

你所说的“矛盾”是指在同一个n维向量空间内
首先，“n+1个n维向量必线性相关”是必然成立的，是一个很重要的定理，一般《高等代数》的教科书里都有相关证明，在此就不加以证明了
其次，“阶梯型向量组必线性无关”也是成立的，不与上述定理矛盾，分析如下：
n维向量即为有n个分量的向量，阶梯型即为向量组中各向量的非零分量依次递增或递减
在一个n维向量空间内，阶梯型向量组至多可以有n个向量，举例如下：
(a11,a12,a13,...,a1(n-1),a1n)
( 0 ,a22,a23,...,a2(n-1),a2n)
( 0 , 0 ,a33,...,a3(n-1),a3n)
……………………
( 0 , 0 , 0 ,...,a(n-1)(n-1),a(n-1)n)
( 0 , 0 , 0 ,..., 0 ,ann)
因此，“阶梯型向量组必线性无关”与“n+1个n维向量必线性相关”是不矛盾的

Answer 2

不矛盾
n+1个n维向量按列向量构成的矩阵是n行n+1列
初等行变换后阶梯形中非零行数<n+1 (不变换也这样)
所以n+1个n维向量的秩小于 n+1
故线性相关