设数域F上向量空间V的向量组{α1 , α2 , α3}线性无关，向量β1可由α1 , α2 , α

Question

设数域F上向量空间V的向量组{α1 , α2 , α3}线性无关，向量β1可由α1 , α2 , α3线性表示，而β2不能由α1 , α2 , α3线性表示。证明：对于所有的k∈F，向量组{α1 , α2 , α3, kβ1+β2 }线性无关。

Answer 1

设x·α1+y·α2+z·α3+w(kβ1+β2)
=
0.
由β1可由α1,
α2,
α3线性表示,
可设β1
=
a·α1+b·α2+c·α3,
代入得
(x+awk)α1+(y+bwk)α2+(z+cwk)α3+w·β2
=
0.
于是w
=
0,
否则β2
=
-(x/w+ak)α1-(y/w+bk)α2-(z/w+ck)α3被α1,
α2,
α3线性表示.
带回得x·α1+y·α2+z·α3
=
0.
而由α1,
α2,
α3
线性无关
,
有x
=
y
=
z
=
0.
组合系数只有零解,
即α1,
α2,
α3,
kβ1+β2线性无关.

Answer 2

反证法：
假设线性相关，即存在不全为0的系数，使得
k1α1+k2α2+...+ksαs=0
对上式左右两边同时作与α1的内积，得到
（k1α1+k2α2+...+ksαs，α1）=0
也即
k1(α1,α1)+k2(α2,α1)+...+ks(αs,α1)=0
而因为向量α1,α2,……,αs都是相互正交的，则
(α2,α1)=...=(αs,α1)=0
因此k1(α1,α1)=0
由于α1显然不是零向量，则(α1,α1)>0
因此k1=0
同理，可证k2=k3=...=ks=0
但这与假设矛盾！因此假设不成立